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树洞特刊|数学与相关学科

大数科小树洞2021-11-21 13:27:15

一、 数学学科及数学教育的地位

 数学学科的地位和作用

数学在人类文明的进步和发展中一直发挥着重要作用。过去,人们习惯把科学分为自然科学、社会科学两大类,数、理、化、天、地、生都归属于自然科学。但是,现在科学家更倾向于把自然科学界定为以研究物质的某一运动形态为特征的科学,如物理学、化学、生物学。数学是忽略了物质的具体运动形态和属性,纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的,具有超越具体科学和普遍适用的特征,具有公共基础的地位,与理、化、生等学科不属于同一层次,因此不是自然科学的一种。把科学分为自然科学、社会科学和数学三大类,这种观点更为学术界所认可。


恩格斯曾说过:“数学在化学中的应用是线性方程组,而在生物学中的应用是零。”但是,在当今高科技时代,自然科学和社会科学的各个领域的研究进入到更深的层次和更广泛的范畴,在这些研究中数学的运用往往是实质性的,数学与自然科学和社会科学的关系从来没有像今天这样密切。许多一度被人认为没有应用价值的抽象的数学概念与理论,出人意料地找到了它们的原型和应用。恩格斯所描述的状况早成为历史。我们略举几个侧面来表明数学的渗透和应用。


——数学的许多高深理论与方法正广泛深入地渗透到自然科学的各个领域中去。物理(不仅是计算需要,电学、晶体结构、量子力学、相对论,现代物理中已很难分清物理的数学化还是数学的物理化)、化学(物质测定,化学平衡,电离层预测)、生物(遗传、生态种群)、经济(金融、证卷、股票、保险、银行)、天文、地学、通讯。美国自然科学基金委提出:当代科学的研究正在日益呈现出数学化的趋势。


——无论是电子计算机的发明还是它的广泛应用都是以数学为基础的。在电子计算机发明史上,里程碑式的人物图林(Alan Turing)和冯诺伊曼(von Neumann)都是数学家,而在当今计算机的重大应用中也无不包含着数学。因而,美国国家研究委员会在一份报告中把数学与能源、材料等并列为必须发展的基础研究领域。


——信息技术已被广泛应用于方方面面,高科技往往是一种数学技术。事实上,从医学上的CT技术印刷排版的自动化,从飞行器的模拟设计到指纹的识别,从石油地震勘探的数据处理到信息安全技术,从天气预报到航天技术等等,在形形色色的技术背后,数学都扮演着十分重要的角色,常常成为解决问题的关键。


——数学已经广泛地深入到社会的各个领域。例如,用数学模型研究宏观经济与微观经济,用数学手段进行市场调查与预测,用数学理论进行风险分析和指导金融投资,等等,在许多国家已被广泛采用,在我国也开始受到重视。在经济以金融的理论研究上,数学的地位更加特殊。诺贝尔经济学奖的获得者中,数学家或有研究数学经历的经济学家占一半以上。


——美国前几年职业排行榜的250种职业中,数学家(指各行业中从事数学建模、仿真等应用的数学家)名列第五位,前四位分别是网站经理、保险精算师、电脑系统分析师、软件工程师,他们也都需要有很强的数学背景。


总之数学在当代科技、文化、社会、经济和国防等诸多领域中的特殊地位是不可忽视的。发展数学科学是推进我国科学研究和技术发展,保障我国在各个重要领域中持续发展的战略需要。

数学教育的地位和作用

数学是人类社会进步的产物,也是推动社会发展的动力之一。数学与人类文明、与人类文化有着密切的关系。数学在人类文明的进步和发展中,一直在文化层面上发挥着重要作用。


数学不仅是一种重要的“工具”或“方法”,也是一种思维模式,即“数学方式的理性思维”;数学不仅是一门科学,也是一种文化,即“数学文化”;数学不仅是一些知识,也是一种素质,即“数学素质”。数学训练在提高人的推理能力、抽象能力、分析能力上,是其它训练难以替代的。


数学素质是人的文化素质的一个重要方面。古希腊的上流社会中,懂得数学是有文化的象征;没有相当数学底蕴的人,再上层人士中是受到歧视的(解决整系数三次方程根式解的塔尔塔利亚(Tartaliya)不是职业数学家,费马(Fermat),伽罗华(Galois)也不是)。数学的思想、精神、方法,从数学角度看问题的着眼点、处理问题的条理性、思考问题的严密性,对人的综合素质的提高都有不可或缺的作用。较高的数学修养,无论子在古代还是在现代,无论对科技工作者还是企业管理者,无论对各行业的工作人员还是政府公务员,都是十分有益的。“胸中有数”中的“数”,不仅包含事务的数量方面。还应包含数学的思想、精神、方法等方面。所以,数学教育,是提高整个中华民族素质的重要环节。


随着知识进经济时代和信息时代的到来,数学更是无处不在,无所不用。各个领域中许多研究对象的是数量化趋势愈发加强,数学结构的联系愈发重要,再加上计算机的普及和应用,给我们一个现实的启示:每个想成为有较高文化素质的现代人,都应当具备较高的数学素质,因此,数学教育对所有专业的大学生来说,多必不可少。


数学教育将在以下五个方面对大学生培养发挥作用:


(1)掌握必要的数学工具,用来处理和解决本学科中普遍存在的数量与逻辑推理问题;


(2)了解数学文化,提高数学素质,将使人终身受益;


(3)培养数学方式的理性思维,如抽象思维、逻辑思维等,会潜移默化地在人们日后的工作中起到作用;


(4)培养全面的审美情操,体会数学是与史诗、音乐、造型并列的美学中心构架(罗马时代的竖琴弦长比例,达芬奇的视觉绘画);


(5)为学生的终身学习打基础、做准备。


因此,对大学生的数学教育,是所有专业教育和文化教育中非常基础的一个方面。从而,发展和改革数学教育,是培养和造就一大批具有创新精神和创新能力的人才的至关重要的一个措施。


数学学科专业的教育,是专门培养数学及相关领域人才的教育,更加具有基础的地位和作用。

二、 数学人才需求

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高科技时代对数学人才的需求

高科技时代充满着激烈的竞争,但归根结底是人才的竞争。由于各种科学技术的核心往往是数学,交叉学科的核心也往往是数学,所以人才竞争中一个重要环节是培养一大批有较宽视野和较强创新能力的数学人才。


近几十年来,无论是在国内还是在国外,我们都可以看到一种现象:一批原来从事数学研究的人转身投向其他研究领域或技术开发领域,特别是信息技术、金融和经济,以及各种工程计算领域,并在这些领域中取得了重大成就,甚至成为其中的领袖人物。这种现象不仅发达国家屡见不鲜,在我国也很多。例如,我国计算机领域或信息技术领域的代表人物原先都是数学专业的毕业生。许多数学专业的毕业生并不在从事数学研究,而是进入了其他领域工作。一些发达国家中,计算机与信息技术,金融与保险业,军工与安全部门是吸纳大批数学博士或硕士的主要行业。


高技术人才市场出现对数学人才的需求不是偶然的,也不是暂时的,而是高技术发展的必然。其原因不仅是因为数学人才在逻辑推理、抽象思维和创造能力上有较大优势,更重要的是在许多领域的研究或开发中需要与越来越多的专门数学知识。由于数学知识的特点,尤其是它的概念的抽象性和知识的连贯性,为了掌握数学知识,往往要从年轻时开始,并且需要较长时间的学习。一般来说,这使得其他领域的人员难于在较短的时间内掌握工作中必需的专门数学知识,相对而言,受过专门数学训练的人去学习另外某个领域的基本知识并达到与该领域工作者沟通的程度,一般说来并不十分困难。

社会需求的五类人才

——专职数学研究人员


包括理论数学和应用数学研究人员。


高水平的理论数学研究人才是我国基础数学发展的保障,是把我国建成数学强国的需要。特点:高层次,少而精,来源于高水平大学的博士、博士后。


应用数学的研究人员,也需要扎实的数学理论功底,并需要较宽的知识面和较强的适应能力。由于数学应用是多方面的,这类人才的需求远远大于理论数学的研究人员。


——交叉学科和其他相关学科的研究人员


有较强数学功底的人才在交叉学科和其他相关研究领域中大有用武之地。除了金融数学、生物数学、经济数学、精算保险等历史较长的交叉学科外,在一些新兴的交叉学科如:生物信息、金融工程、信息安全、计算机视觉、图像处理、信息处理、软件工程、数理语言学、计算化学、计算材料学等,也需要一批数学人才。这类人才需求量大,并逐年增加,来源于一部分数学专业本科毕业生,更多的是数学及相关方向的硕士和博士毕业生。


——高等教育的数学教师


包括数学专业教师和非数学专业教师(公共高等数学教师),目前已逐步趋于动态平衡状态,只好因为扩大招生,公共数学教师仍然有较大需求。重点院校的数学教师均要求博士以上学历,非重点院校至少要硕士以上学历。


——以数学和计算机为主要工具的、国民经济各领域所需求的应用型人才


这类人才的需求量很大,如精算师、经济师、软件设计师、统计师、工程计算专家、 网络安全专家、国防科技专家,等等,需求层次主要是硕士、博士,也需要一部分本科生。这部分需求量在总需求量的一半以上,由于社会对这类人才的需求是多种多样的、变化迅速的,所以要“厚基础、宽口径”。


——基础教育和中、高等职业教育的数学人才


这类人才是吸纳高校数学毕业生的重要渠道,层次是本科和硕士,但随着中学生生源的减少,中学教师的需求在减少。除非国家在大城市中开放外来人口子女入学政策,大城市中学生生源还可以保持,这涉及到国家户口政策。

三、数学学习方法注意要点

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强调知识、能力、素质的综合发展

——十种基本的数学能力


类比、分析、归纳、抽象、联想、演绎推理、准确计算、学习新知识、运用数学软件、应用数学


——五种基本数学素养


主动探寻并善于抓住数学问题中的背景和本质;


熟练地用准确简明规范的数学语言表达自己的数学思想;


具有良好的科学态度和创新精神,合理地提出新思想、新概念、新方法;


对各种问题以“数学方式”的理性思维,从多角度探寻解决问题的道路;


善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化,建立数学模型。


——认真学习数学分析、高等代数、解析几何三门基础课,从中学会抓住基本知识、基本技能、基本思想方法,理解并学习数学思想方法。


——认真学习实变函数、泛函分析、抽象代数,从中学会走向现代数学前沿。 

注意积累,个性化学习

许多学科可以推翻前人的思想、设计创造新的方法、理论,而数学只能子原有知识的基础上发展新知识,数学的发展是后人在前人所盖大楼的基础上一层一层加盖新楼所得。我们依靠原有概念表达新概念,因此不可能在没有初等函数知识的基础上讲微积分,也不可能在没有函数的条件下讲泛函。微积分即使是17世纪的知识,仍然还是我们学习现代数学的基础,这与文科不一样,与物理、化学、生物也不一样,数学知识不会应为时间而过时,要知道经济学是因为引入了微积分才现代化的。


数学学习也就需要循序渐进,逐步进步,不能一蹴而就,不能中间跳跃,要耐住性子积累知识和能力。


许多数学家是具有个性化学习和研究能力的,重大数学成果的建立大多有一个独立思考的过程,课后多思考,多动手,通过与人讨论、研读文献提高数学素养与能力。 

慎重使用习题集,严格使用数学语言

数学学习的特点使得习题训练在数学学习中又特别重要作用,理解各部分知识的联系、明确解决问题的思路、数学思维的培养、书面表达能力的训练,很大程度上依靠做习题完成,不可以抄解答代替做题。


用简洁、严谨、规范的数学语言表达自己的数学思想,并有组织得书写、演讲,对培养数学素养极为重要。因此解答数学问题要先思考,再组织语言,最后誊写到本子上。计算题最重要的不是大数是否准确,而是要注意到每一步计算的理由和算法是否表达清楚。

注重实践与创新

除了做基础性的习题外,要在高级课程和综合课程中发现基础课程的实际应用,注重算法课程中的代数、几何、分析方法的使用,注重数学建模中各种知识的应用,在社会实践使用统计、科学计算。


通过课程学习、小组讨论、教师交流、课外学习,对数学已有结论进行反思,提出进一步讨论的话题,并在老师的帮助下进行力所能及的探索、整理、发现,培养创新能力。对本科生而言,在校期间按需要翻阅一些科普文章,阅读普及性的书籍,以学习研究论文的研究方式和保持对数学的整体爱好和敏感。

四、20世纪的数学发展趋势

——从局部到整体


复分析(函数论):整体性质是一个特定函数与众不同的特性,局部展开只是看待他们的一种方式。


微分方程:解不必是一个显函数,不一定要用好的公式来描述,解的奇异性是真正决定整体性质的。


微分几何:要想了解曲面的整体图像以及伴随它们的拓扑时,经典结果到大范围的转变就自然了,当考虑小范围到大范围时,最有意义的性质就是拓扑性质。


数论:讨论有限个素数到讨论全部素数,在数论发展中起到重要作用,并且拓扑的思想深深影响了数论。


物理学:物理学的全部内容就是从经典的小范围出发(相当于一个微分方程),可以预计大范围内正在发生的内容。

 

——维数的增加


复变函数:经典的复变函数主要详细讨论一个复变量理论并加以精细,推广到多个变量发生在20世纪,n个变量的理论的研究有全新的特性出现,多变量研究占据愈来愈来重要地位,这是本世纪的主要成就。


微分几何:过去微分几何学家主要研究曲线和曲面,现在研究n维流形,研究多个独立和非独立向量值函数。


线性代数:从有限维线性空间到无限维Hilbert空间,就是泛函空间。


——从交换到非交换


这是代数学最主要特征之一。 Hamilton四元数,Grassmann外代数,Caley的矩阵工作,Galois的群论。这些将非交换乘法引入代数理论的基石, 是20世纪代数的“面包和黄油”。矩阵和非交换乘法在物理中产生量子理论,Heisenberg对易关系是非交换代数在物理中的一个最重要的应用例子,后来被von Neumann推广到算子代数理论中。

 

——从线性到非线性


Euclid几何都是线性的,而非欧几何的各个阶段到Riemann几何,所讨论的基本是非线性的。


微分几何:孤立子理论代表非线性微分方程的无法预料的有组织行为,混沌理论代表非线性微分方程的无法预料的无组织行为,它们基本是非线性的。


物理学:电磁学的基本方程Maxwell线性偏微分方程,而Yang-Mills方程式非线性的被用假定来调控物质结构有关的力。本质上后者是前者的矩阵体现,而矩阵的不可交换性导致了非线性项的出现。 


——几何与代数 


——通用技术


同调论


K—理论


李群


——有限群 


——物理的影响 

五、数学考研

社会需求的数学人才,层次都在硕士以上,加上研究生扩招,攻读研究生将是数学本科毕业生的一个重要去向,攻读研究生的人数,重点大学会达到本科毕业生的30%以上,普通高校达到15%以上。


考研的目的:提高竞争能力;改变工作环境;提高生活质量;追求科学真理;立志奉献社会。


专业的选择:原则:发挥优势,选择兴趣。


方法:询问、调查、培养。

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相关专业

专业简介:一级学科:数学:


数学史;


数理逻辑与数学基础;


基础数学:数论、代数学、几何学、拓扑学、数学分析、非标准分析、函数论、常微分方程、泛函分析、组合数学、模糊数学;


应用数学:偏微分方程、动力系统、积分方程、概率论、数理统计、应用统计学、计算数学、运筹学;


数学与其他学科:金融数学,经济数学,证券分析,营销预测,保险精算,生物统计,医学统计,社会统计,管理决策,计算机程序设计,计算机算法,计算机编码,图像扫描与成像,网络结构,理论物理,量子物理,数学物理,晶体结构学,天文学,气象学,地质测量测绘,建筑设计,信息通讯,计算物理、计算化学、计算力学、计算材料学、环境科学、地球科学、金融保险,信息识别、人工智能、数据压缩。 

数学考研专业分类方向

07理学


0701数学类


07010100 数学与应用数学


07010200 信息与计算科学


07019901 数理逻辑学


07019902 经济数学


07019903 计算技术


07019904 计算数学及其应用软件


07019905 数学教育 

考研资料与学习

——考研的准备:


心理:临机一动=盲目上阵;


道听途说、夸大难度=自动放弃


实施:二年级开始计划,培养专业兴趣;


课程:高等代数、数学分析、专业基础课;


高等数学、专业方向课I,II;


准备英语四、六级;考前参加政治、英语辅导班;


流程:报名,初试,复试,录取,学习,毕业,学位,考博…… 


——数学考研复习(参考):


高代:王鄂芳、石生明老师教材和学习辅导书、蓝以中高等代数简明教程,樊恽、郑延履、刘合国线性代数学习指导;王品超高等代数新方法,史明仁线性代数六百证明祥解, 陈志杰等高等代数与解析几何、高等代数与解析几何习题精解


分析:华东师范大学数学分析,吴良森、毛羽辉数学分析习题精解,复旦大学数学分析,北京大学数学分析,裴礼文数学分析中的典型问题与方法

 

课程与教学论


——方向:


基础数学:代数学、多复变函数论、复几何与复分析、几何与拓扑学、非线性泛函、调和分析与逼近论、代数几何与现代数论。


应用数学:非线性偏微分方程及其应用、常微分方程和动力系统、组合集论在拓扑学与计算机科学中的应用、格上拓扑与模糊逻辑、天体力学与辛几何。


计算数学:有限元与边界元方法、偏微分方程的高精度数值解、计算流体动力学、数值逼近与数值代数、动力系统保结构辛算法、线性与非线性优化、工程计算与应用软件、计算几何、量子计算。


概率论与数理统计:渗流理论、随机运筹学、数量经济学、应用统计、极限理论和极值理论。


运筹学与控制论:最优化理论及其应用、最优化理论与算法研究、组合数学。


数学物理:量子场论和量子信息理论。


数学教育:高师数学教育、中小学数学教育。


数学与信息技术:CT成像技术、计算机图形学和图像处理技术。


课程与教学论:数学课程理论与实践、数学学习心理研究、数学史、数学教育史。

来  源:数学中国

编  辑:郑鑫淼 焦爱霏

责任编辑:蔡安琪